طراحی سطح پاسخ

   روش های طراحی سطح ابتدا برای کاربردهای تحقیقاتی در شیمی، فیزیک و بیولوژی توسعه داده شدند اما به علت نتایج قابل اعتمادی که با این روش ها حاصل شد، در صنعت نیز به کار برده می شوند. روش سطح پاسخ (Response surface method) یا به اختصار RMS به طور خلاصه استفاده از روش ها ریاضی و تکنیک های آماری برای ساخت مدل های تجربی از فرایند مورد مطالعه است. در این روش ها علاوه بر اثرات اصلی بین فاکتورها، امکان تخمین اثرات تعاملی (Quadratic) و برهمکنش بین فاکتور ها (اثرات متقابل) نیز فراهم می شود. سطح پاسخ یا به عبارتی شکل محلی (local) سطح پاسخ، با بررسی برهم کنش های بین فاکتورها، به راحتی قابل دسترس و بررسی قرار می گیرد.

توصیف کامل فرایندی با سه فاکتور موثر، که رفتار درجه دو (Quadratic) دارد، با معادله زیر بیان می شود:

      (1)              Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₁x₁2+b₂₂x₂2+b₃₃x₃²

     رفتار درجه سوم (cubic) نیز با روش های سطح پاسخ قابل بررسی هستند، اما اغلب مواقع معادلات درجه دوم برای کاربردهای صنعتی و تحقیقاتی کفایت می کنند.

    طراحی RMS برای مواردی چون : پیدا کردن نقطه بهینه، عیب یابی مشکلات و نقاط ضعف فرایند و ایجاد یک فرایند قوی تر و مقاوم (Robust) در برابر فاکتورهای غیر کنترلی به کار می روند.

دو روش متداول طراحی سطح پاسخ عبارتند از: طراحی باکس-بنکن  (Box-Behnken design) و طراحی مرکب مرکزی (Central Composite Designs).

طراحی باکس-بنکن       

    طراحی باکس-بنکن (Box-Behnken design)، با نام اختصاری BBD، از روش های طراحی سطح پاسخ است که به دلیل تعداد آزمایشات کمتر در طراحی تا 4 فاکتور مورد توجه قرار دارد. این تکنیک یک طراحی عاملی سه سطحی ناکامل است. در این روش یک بلوک آزمایشات دو سطحی در بین مجموعه مختلفی از متغیرها تکرار می شود. این طرح برای حل مشکل تعداد زیاد آزمایشات (نمونه ها) در طراحی با تعداد فاکتور زیاد ارائه شد. تعداد آزمایشات به گونه ای ثابت نگه داشته می شود که برای تخمین ضرایب معادله درجه دوم نیز کافی باشد.

تعداد آزمایشات به تعداد پارامترها، اندازه فاکتوریال، تعداد بلوک و به طور خاص به دوران پذیری (rotatability) طراحی بستگی دارد. تعداد نمونه ها در روش طراحی باکس-بنکن از جدول هایی که توسط مولفان این روش ارائه شده استفاده می شود.

یک طراحی ازمایش در صورتی دوران پذیر (rotatable) است که واریانس پاسخ پیش بینی شده در هر نقطه فقط تابعی از فاصله آن از نقطه مرکزی باشد.

شکل  1- یک طراحی باکس-بنکن (Box-Behnken)  برای سه فاکتور

     شکل 1 یک طراحی باکس-بنکن برای سه فاکتور را نشان می دهد. هندسه این طرح مشابه یک کره در فضای فرایند است که آزمایشات در نقاط میانی و مرکز اضلاع مکعب بیرونی قرار می گیرند.

تعداد آزمایش ها (N) برای طراحی BBD از N=2k(k-1)+C₀ محاسبه می شود که در k تعداد فاکتورها و C₀ تعداد نقاط مرکزی ست که معمولا 3 در نظر گرفته می شود.

طراحی مرکب مرکزی  

    طراحی مرکب مرکزی (Central Composite Designs)، با نام اختصاری و متداول CCD و یا با نام اولیه طراحی مرکب مرکزی Box-Wilson، از روش های متداول سطح پاسخ است. روش CCD مشابه  طراحی عاملی یا عاملی کسری است که شامل نقاط مرکزی (center point) است  و برای تخمین انحنا (curvature) از نقاط ستاره (star point) استفاده می شود. تعداد نقاط ستاره دو برابر تعداد فاکتورهاست (2k). اگر فاصله از نقطه مرکزی فضای طراحی به نقاط عاملی (گوشه های مربع شکل 2) برای هر فاکتور مساوی هم باشد، فاصله نقطه مرکزی تا نقاط ستاره (α) بزرگتر از یک خواهد بود. بنابراین طراحی CCD معمولا در پنج سطح شامل α , -1,0,+1, – α +صورت می گیرد. -1 و +1 سطوح بالا و پایین و –α و +α حدهای جدید فاکتورها هستند. صفر نیز نقطه مرکزی طراحی محسوب می شود.

    مقدار دقیق آلفا (α) به ویژگی طراحی و تعداد فاکتورها بستگی دارد. شکل 2 هندسه طراحی مرکب مرکزی دو فاکتوری با ترکیبی از طراحی عاملی با نقاط مرکزی و نقاط ستاره را نشان می دهد.

برای حفظ دوران پذیر ی (rotatability) مقدار α به تعداد آزمایشات قسمت طراحی عامی CCD بستگی دارد و به صورت زیر محاسبه می شود:

α =[تعداد آزمایشات طراحی عاملی]^1/4=[2^k]^1/4                                               (2)

بنابراین برای طرح عاملی کامل تساوی دوم صادق است که در آن k تعداد فاکتورهای برای طراحی عاملی کامل ست. 

شکل 2- هندسه طراحی مرکب مرکزی دو فاکتوری با ترکیبی از طراحی عاملی با نقاط مرکزی و نقاط ستاره

 

بر اساس مکان نقاط ستاره، سه روش متفاوت از CCD تعریف شده است که عبارتند از:

1- مرکب مرکزی محدود (Circumscribed Central Composite)

   طراحی مرکب مرکزی محدود یا CCC شکل اصلی طراحی مرکب مرکزی ست که نقاط ستاره و در نتیجه مقدار آلفا به خواص مورد نظر و تعداد فاکتورها بستگی دارد. در این نوع طراحی مفدار آلفا بزرگتر از یک است. نقاط ستاره حدود جدیدی از سطوح بالاتر و پایین تر را برای فاکتورها تعیین می کنند. بنابراین فاکتورها به صورت پنج سطحی در نظر گرفته می شوند. این طرح تقارن کروی یا فوق کروی (hyperspherical) دارد.

2- مرکب مرکزی محاطی (Inscribed Central Composite)

در مواقعی که محدودیت ویژه ای برای سطوح فاکتورها وجود دارد طراحی مرکب مرکزی محاطی یا CCI به کار می رود. به علت این محدودیت نقاط ستاره به عنوان حدهای بخش طراحی عاملی در نظر گرفته می شود. به عبارت دیگر، روش CCI مقیاس کاهش یافته روش CCC است که در آن از مقادیر  1/α به جای α استفاده می شود. بنابراین این طرح نیز در پنج سطح شامل , +1α -1, -1/α ,0,1/ انجام می شود.

3- مرکب مرکزی چهره-محور (Face-Centered Central Composite)

روش CCF که یک طراحی ویژه CCD ست نقاط ستاره در مرکز هر وجه بخش طراحی عاملی قرار می گیرند (شکل 3) . مقدار آلفا در این طرح برابر با یک است و بنابراین یک طراحی سه سطحی است.

در شکل 3 تفاوت و شباهت های در هندسه طراحی سه روش متفاوت CCD یعنی CCC, CID و CCF نشان داده شده است.                       

شکل 3 مقایسه سه روش طراحی مرکب مرکزی CCC, CID و CCF

نکات تکنیک های روش سطح پاسخ

• داشتن آگاهی و شناخت اولیه از فرایند و متغیرها تاثیرگذار بسیار با اهمیت است. بهتر است قبل استفاده از روش های سطح پاسخ از روش های غربالگری برای شناسایی و انتخاب درست متغیرها انجام شود.
• از بین چهار روش مورد بحث ( Box-Behnken, CCC, CCI, CCF) در طراحی فرایندهای با سه یا چهار فاکتور، طراحی باکس-بنکن تعداد آزمایشات کمتری را شامل می شود. هرچه تعداد فاکتورها بالاتر می رود این مزیت روش باکس-بنکن نیز کمتر شده و حذف می شود.
• طراحی باکس-بنکن مشابه روش CCI قدرت پیش بینی بالایی ندارد.
• طراحی CCC قدرت پیش بینی بسیار بالایی دارد در حالی که CCI به علت استفاده از حدود پایین و بالای قسمت طراحی عاملی، قدرت پیش بینی کمتری دارد.
• طراحی CCF قدرت پیش بینی نسبتا بالایی دارد، اما دقت خوبی در تخمین ضرایب درجه دوم ندارد (یاد آوری می شود که این روش سه سطحی ست).